Question

【题目】如图，已知中， ，点平面，点在平面的同侧，且在平面上的射影分别为，.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若是中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由在平面上的射影分别为，可以得出平面，进而可以得到，通过计算可以证明出，利用线面垂直的判定定理可以得到线面垂直，利用面面垂直的判定定理可以证明出平面平面；

（Ⅱ）以为坐标原点，直线，，为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面的法向量和平面的法向量，利用空间向量的数量积坐标表示，可以求出平面与平面所成锐二面角的余弦值.

（Ⅰ）证明：由条件，平面，∴，

由计算得，，，∴，，

又，∴平面，而平面，

∴平面平面.

（Ⅱ）以为坐标原点，直线，，为，，轴建立空间直角坐标系，

，，，，则，，，平面的法向量为，

设平面的法向量，由，

取，，

设平面与平面所成锐二面角为，则.

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.