Question

已知抛物线C：y²=8x与点M（-2，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若

MA

•

MB

=0，则k=（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  2

  2

• C．

  2

• D．2

Answer 1

分析：由抛物线C：y²=8x得焦点（2，0），由题意可知：斜率k≠0，设直线AB为my=x-2，其中m=

1

k

．与抛物线的方程联立可得根与系数的关系，再利用

MA

•

MB

=0即可解出．

解答：解：由抛物线C：y²=8x得焦点（2，0），
由题意可知：斜率k≠0，设直线AB为my=x-2，其中m=

1

k

．
联立

my=x-2 y2=8x

，得到y²-8my-16=0，△＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．∴y₁+y₂=8m，y₁y₂=-16．
又

MA

=(x1+2，y1-2)，

MB

=(x2+2，y2-2)，
∴

MA

•

MB

=（x₁+2）（x₂+2）+（y₁-2）（y₂-2）=（my₁+4）（my₂+4）+（y₁-2）（y₂-2）
=（m²+1）y₁y₂+（4m-2）（y₁+y₂）+20=-16（m²+1）+（4m-2）×8m+20=4（2m-1）²
由4（2m-1）²=0，
解得m=

1

2

．
∴k=

1

m

=2．
故选D

点评：本题综合考查了抛物线的性质、直线与抛物线相交转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的数量积运算等基础知识，考查了推理能力、计算能力及分析问题和解决问题的能力．