Question

如图，已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点． A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；
（Ⅲ）以M为圆心，4为半径作圆M，点P（m，0）是x轴上的一个动点，试讨论直线AP与圆M的位置关系．

Answer 1

分析：（Ⅰ）抛物线的准线为x=-

p

2

，于是8+

p

2

=10，p=4，由此可知抛物线方程为y²=8x．
（Ⅱ）由题意得B（0，8），M（0，4），kFA=

4

3

，kMN=-

3

4

，直线FA的方程为y=

4

3

(x-2)，直线MN的方程为y=-

3

4

x+4由此可知点N的坐标为(

16

5

，

8

5

)．
（Ⅲ）由题意得，圆M的圆心坐标为（0，4），半径为4．当m=8时，直线AP的方程为x=8，此时，直线AP与圆M相离；当m≠8时，直线AP的方程为y=

8

8-m

(x-m)，圆心M（0，4）到直线AP的距离d=

|32+4m|

64+(m-8)2

，由此可判断直线AP与圆M的位置关系．

解答：解：（Ⅰ）抛物线的准线为x=-

p

2

，于是8+

p

2

=10，
∴p=4，∴抛物线方程为y²=8x（4分）
（Ⅱ）∵点A的坐标为（8，8），
由题意得B（0，8），M（0，4），又∵F（2，0），∴kFA=

4

3

（6分）
又MN⊥FA，∴kMN=-

3

4

，则直线FA的方程为y=

4

3

(x-2)，
直线MN的方程为y=-

3

4

x+4（8分）
联立方程组，解得

x= 16 5 y= 8 5

，∴点N的坐标为(

16

5

，

8

5

)（10分）
（Ⅲ）由题意得，圆M的圆心坐标为（0，4），半径为4．
当m=8时，直线AP的方程为x=8，此时，直线AP与圆M相离（12分）
当m≠8时，直线AP的方程为y=

8

8-m

(x-m)，
即为8x-（8-m）y-8m=0，所以圆心M（0，4）到直线AP的距离d=

|32+4m|

64+(m-8)2

，
令d＞4，解得m＞2；令d=4，解得m=2；令d＜4，解得m＜2（14分）
综上所述，当m＞2时，直线AP与圆a+b＞c相离；
当m=2时，直线AP与圆a+b＞c相切；
当m＜2时，直线AP与圆a+b＞c相交．（16分）

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．