Question

如图，已知抛物线C：y²=4x焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点．
（Ⅰ）若线段AB的中点在直线y=2上，求直线l的方程；
（Ⅱ）若|AB|=20，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）利用“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式即可得出；
（II）设直线l的方程为y=k（x-1），与抛物线方程联立化为k²x²-（4+2k²）x+k²=0，得到根与系数的关系，利用弦长公式|AB|=x₁+x₂+p即可得到k．

解答：解：（I）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点M（x₀，2），则x0=

x1+x2

2

，2=

y1+y2

2

，kl=

y1-y2

x1-x2

．
由

y

2 1

=4x1，

y

2 2

=4x2，可得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴4k_l=4，解得k_l=1．
由y²=4x得焦点F（1，0）．∴直线l的方程为：y=x-1．
（II）设直线l的方程为y=k（x-1），联立

y=k(x-1) y2=4x

化为k²x²-（4+2k²）x+k²=0，
∴x1+x2=

4+2k2

k2

．
∵|AB|=x₁+x₂+p=

4+2k2

k2

+2=10，解得k=±

6

3

．
∴直线l的方程为y=±

6

3

(x-1)．

点评：本题考查了“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式|AB|=x₁+x₂+p等基础知识与基本技能方法，属于难题．