Question

设a>0且a≠1，函数y＝a^2x＋2a^x－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．

Answer 1

a＝或3

解：令t＝a^x(a>0且a≠1)，
则原函数化为y＝(t＋1)²－2(t>0)．
当0<a<1时，x∈[－1,1]，
t＝a^x∈，
此时f(t)在上为增函数．
所以f(t)_max＝f＝²－2＝14.
所以²＝16，
所以a＝－或a＝.
又因为a>0，所以a＝.
②当a>1时，x∈[－1,1]，
t＝a^x∈，
此时f(t)在上是增函数．
所以f(t)_max＝f(a)＝(a＋1)²－2＝14，
解得a＝3(a＝－5舍去)．
综上得a＝或3.