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    （ 13分）设函数

    （1）研究函数的单调性；

    （2）判断的实数解的个数，并加以证明.

     

     

    【答案】

    （1）在单调递减.

    （2）有唯一实数解.

    【解析】解：（1）

    所以在单调递减.……………………………………4分

    （2）有唯一实数解.

    由，及在单调递减，

    知在有唯一实数解，从而在有唯一实数解.

    推断在有唯一实数解

    当时，由，得

     

    （i）若，则

    (ii) 若，则

    (iii) 若且时，则

    ① 当时，

    ② 当时，

    综合i, ii, iii，得，即在单调递减……………10分

    >0，又

        

         <0 ……………12分

    所以在有唯一实数解，从而在有唯一实数解.

    综上，有唯一实数解.……………………………………………13分

     

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    （本小题满分13分）设函数f(x)=x3+ax2－a2x+m(a>0).

    （Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

    （Ⅱ）若函数f(x)在x∈[－1，1]内没有极值点，求a的取值范围；

    （Ⅲ）若对任意的a∈[3,6]，不等式f(x)≤1在x∈[－2,2]上恒成立，求m的取值范围.

     

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年湖南省长望浏宁四市县区高三5月联考理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    （本小题满分13分）

    设函数对任意的实数，都有，且当时，。

    （1）若时，求的解析式；

    （2）对于函数，试问：在它的图象上是否存在点，使得函数在点处的切线与平行。若存在，那么这样的点有几个；若不存在，说明理由。

    （3）已知，且 ，记，求证： 。

     

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年湖南省长沙市高三第四次月考理科数学试卷 题型：解答题

    （本题满分13分）设函数，已知，且，曲线在x=1处取极值．

    ′
     
       （Ⅰ）如果函数的递增区间为，求的取值范围；

       （Ⅱ）如果当是与无关的常数时，恒有，求实数的最小值 

     

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