Question

如图所示，曲线段OMB是函数f(x)＝x²(0＜x＜6＝的图象，BA⊥x轴于A，曲线段OMB上一点M(t,f(t))处的切线PQ交x轴于P，交线段AB于Q，⑴试用t表示切线PQ的方程；⑵试用t表示出△QAP的面积g(t)；若函数g(t)在(m，n)上单调递减，试求出m的最小值；⑶若S_△QAP∈[]，试求出点P横坐标的取值范围

Answer 1

[,3]

解析:

⑴设点M(t，t²)，又f＇(x)=2x，

∴过点M的切线PQ的斜率k=2t     ∴切线PQ的方程为：y=2tx－t²

⑵由⑴可求得，P()，Q(6,12t－t²)∴g(t)＝S_△QAP＝(12t－t²)=(0<t<6)

由于g＇(t)=,令g＇(t)<0，则4<t<12，考虑到0<t<6,∴4<t<6，

∴函数g(t)的单调递减区间是(4,6)，因此m的最小值为4

⑶由⑵知，g(t)在区间(4,6)上递减，∴此时S_△QAP∈(g(6)，g(4))=(54,64)

令g＇(t)＞0，则0<t<4，∴g(t) 在区间(0，4)上递增，

S_△QAP∈(g(0)，g(4))=(0，64)，又g(4)＝64

∴g(t)的值域为(0，64)

由≤g(t)≤64，得1≤t<6∴≤<3，∴点P的横坐标∈[,3]