Question

如图所示，曲线段OMB是函数?f(x)=?x²(0＜x＜6)的图象，BA⊥x轴于A点，曲线段OMB上一点M(t,f(t))的切线PQ交x轴于P点，交线段AB于Q.

(1)试用t表示切线PQ的方程;

(2)试用t表示△QAP的面积g(t),若函数g(t)在(m,n)上单调递减，试求出m的最小值;

(3)若S_△QAP∈［，64］，试求出点P横坐标的取值范围.

Answer 1

解析：（1）设点M(t,t²),?

又f′(x)=2x,?

∴过点M的切线PQ的斜率k=2t.?

∴切线PQ的方程为y=2tx-t².?

（2）由（1）可求得P(,0),Q(6,12t-t²),?

∴g(t)=S_△QAP= (6-t)(12t-t²)=-6t²+36t(0＜t＜6).?

由于g′(t)=t²-12t+36,?

令g′(t)＜0，得4＜t＜12,∴4＜t＜6.?

∴函数g(t)的单调递减区间是（4，6），因此m的最小值为4.?

（3）由（2）知函数g(t)在（4，6）上递减，??

∴此时S_△QAP∈(g(6),g(4))=(54,64).??

∴g(t)的值域为（0，64）.?

由S_△QAP∈［,64］，可得1≤t＜6.?

∴≤＜3,即点P的横坐标的取值范围是［，3）.