Question

已知函数．
（Ⅰ）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）设m，n为正实数，且m＞n，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据x=2是函数f（x）的极值点，则f′（2）=0可求出a的值，然后求出切线的斜率和切点，从而可求出切线方程；
（II）根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，通分后根据函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，得到分子大于0恒成立，解出2a-2小于等于一个函数关系式，利用基本不等式求出这个函数的最小值，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围；
（III）把所证的式子利用对数的运算法则及不等式的基本性质变形，即要证ln-＞0，根据（II）得到h（x）在x大于等于1时单调递增，且大于1，利用函数的单调性可得证．
解答：解：（I）f′（x）=-=，
由题意知f′（2）=0，解得a=，经检验符合题意．
从而切线的斜率为k=f′（1）=-，切点为（1，0）
切线方程为x+8y-1=0
（II）f′（x）=，
因为f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，所以f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立
即x²+（2-2a）x+1≥0在（0，+∞）上恒成立，
当x∈（0，+∞）时，由x²+（2-2a）x+1≥0，
得：2a-2≤x+，
设g（x）=x+，x∈（0，+∞），
则g（x）=x+≥2=2，当且仅当x=即x=1时，g（x）有最小值2，
所以2a-2≤2，解得a≤2，所以a的取值范围是（-∞，2]；
（III）要证，只需证＜，
即ln＞，即ln-＞0，
设h（x）=lnx-，
由（II）知h（x）在（1，+∞）上是单调增函数，又＞1，
所以h（）＞h（1）=0，即ln-＞0成立，
得到．
点评：本题主要考查了学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，掌握不等式恒成立时所满足的条件，会利用基本不等式求函数的最小值，是一道中档题．