Question

如图，在矩形ABCD中，已知AD=2，AB=a（a＞2），E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD上的点，若AE=AF=CG=CH，问AE取何值时，四边形EFGH的面积最大？并求最大的面积．

Answer 1

分析：设AE=x，四边形EFGH的面积为S，则可知S=2a-x²-（2-x）（a-x），化简并配方得S=-2(x-

a+2

4

)2+

(a+2)2

8

，x∈（0，2]，即函数的对称轴为x=

a+2

4

，从而分类讨论可求函数的最大值．

解答：解：设AE=x，四边形EFGH的面积为S，则-----------------------------------------（1分）
S=2a-x²-（2-x）（a-x）
=-2x²+（a+2）x
=-2(x-

a+2

4

)2+

(a+2)2

8

，x∈（0，2]
（1）若

a+2

4

≤2，即2＜a≤6，则当x=

a+2

4

时，S取得最大值是Smax=

(a+2)2

8

；--（8分）
（2）若

a+2

4

＞2，即a＞6，函数S=-2x²+（a+2）x在区间（0，2]上是增函数，
则当x=2时，S取得最大值是S_max=2a-4；------（12分）
综上可得面积EFGH的最大值为

(a+2)2 8        ，2＜a≤6 2a-4               ，a＞6

．

点评：本题以实际问题为载体，考查二次函数模型的构建，考查二次函数在闭区间上的最值讨论，解题的关键是针对函数的定义域，结合函数的对称轴分类讨论．