Question

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量

m

=（a+c，b-a），

n

=（a-c，b），且

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若2sin²

A

2

+2sin2

B

2

=1，判断△ABC的形状．

Answer 1

考点：三角形的形状判断,数量积判断两个平面向量的垂直关系

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用向量的数量积的坐标运算可得c²=a²+b²-ab，再利用余弦定理可得cosC=

1

2

，从而可得角C的大小；
（Ⅱ）利用降幂公式可得cosA+cosB=1，而C=

π

3

，从而可得cosA+cos(

2π

3

-A)=1，利用三角恒等变换可得sin(A+

π

6

)=1，从而可得A，继而可判断△ABC的形状．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得

m

•

n

=(a+c，b-a)(a-c，b)=a2-c2+b2-ab=0，
即c²=a²+b²-ab…（3分）
由余弦定理得   cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，∵0＜C＜π，∴C=

π

3

…（6分）
（Ⅱ）∵2sin2

A

2

+2sin2

B

2

=1，∴1-cosA+1-cosB=1…（7分）
∴cosA+cosB=1，cosA+cos(

2π

3

-A)=1，…（9分）
∴cosA+cos

2π

3

cosA+sin

2π

3

sinA=1，∴

3

2

sinA+

1

2

cosA=1，
∴sin(A+

π

6

)=1，∵0＜A＜π，∴A=

π

3

，B=

π

3

…（11分）
∴△ABC为等边三角形．   …（12分）

点评：本题考查△ABC的形状的判断，着重考查向量的数量积的坐标运算，余弦定理的应用及三角恒等变换的综合应用，属于中档题．