Question

下表为X、Y、Z三种食物每1 kg的维生素含量及每1 kg的成本.

	X	Y	Z
维生素A(单位)	400	600	400
维生素B(单位)	800	200	400
成本(元)	6	5	4

某食物营养所欲将三种食物混合成100 kg的混合物,设所用X、Y、Z的份量依次为x、y、z.

(1)试以x、y表示z;

(2)试以x、y表示混合物成本;

(3)若混合物至少需含44 000单位的维生素A及48 000单位的维生素B,证明y≥20,2x-y≥40,x+y≤100;

(4)确定使成本为最少的x、y、z的值.

Answer 1

解：(1)因为x+y+z=100,

所以z=100-x-y.

(2)混合物成本=6x+5y+4z,把(1)代入可得,混合物成本=6x+5y+4(100-x-y)=400+2x+y.

(3)因为400x+600y+400z≥44 000,把(1)代入,得y≥20.

因为800x+200y+400z≥48 000,把(1)代入,得2x-y≥40.

因为x+y+z=100,所以x+y=100-z,而z≥0,所以x+y≤100.

(4)成本=400+2x+y=400+(2x-y)+2y≥400+40+2×20=480.

当且仅当2x-y=40,y=20时,上式取等号,所以当x=30 kg,y=20 kg,z=50 kg时,成本最小.