Question

设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入五个盒子内．
（1）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？
（2）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？

Answer 1

分析：（1）首先选定两个不同的球，看作一个球，选法有C₅²种，再从5个盒子中选出4个盒子放入这4个球，有

A

4 5

种投放方法，由此根据分步计数原理求得结果．
（2）没有一个盒子空着，相当于5个元素排列在5个位置上，有A₅⁵种，而球的编号与盒子编号 全相同只有1种，减去即可．

解答：解：（1）首先选定两个不同的球，看作一个球，这样，5个球变成了4个球，选法共有C₅²=10种，
再从5个盒子中选出4个盒子放入这4个球，有

A

4 5

=120种投放方法．
∴共计有 10×120=1200 满足条件的方法．  
（2）没有一个盒子空着，相当于5个元素排列在5个位置上，有A₅⁵种，而球的编号与盒子编号全相同只有1种，
所以没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同的投法有  A₅⁵-1=119种．

点评：本题主要考查排列、组合问题，解题的关键是把两个球先看成一个球，注意用间接法求解，属于中档题．