Question

设函数，若f（x）在处取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）存在使得不等式f（x₀）-c≤0成立，求c的最小值．

Answer 1

解：（1）∵，定义域为（0，+∞），
∴．…（1分），
∵处取得极值，
∴…（2分）
即，解得，
∴所求的a，b的值分别为…（4分）
（ii）因在存在x_o，使得不等式f（x_o）-c≤0成立，
故只需c≥[f（x）]_min，
由==．…（6分）
f'（x）导数的符号如图所示
∴f（x）在区间，[1，2]递减；
递增；…（7分）
∴f（x）在区间 上的极小值是．…（8分）
而，且，
又∵e³-16＞0，∴…（10分）
∴[f（x）]_min=f（2）…（11分）
∴，即c的最小值是…（12分）
分析：（1）由真数大于零求出函数的定义域，再求出函数的导数，由取得极值的必要条件得，列出方程组进行求解；
（2）由f（x₀）-c≤0成立，转化为c≥[f（x）]_min，再由导数的符号确定函数在已知区间上的单调性，进而求出函数的极值，再求出区间端点处的函数值进行比较，求出函数的最小值．
点评：本题考查了利用函数的导数研究函数的单调性、极值和最值问题，以及恒成立转化问题，考查了分析及解决问题的能力．