Question

三棱锥P-ABC中，三侧棱PA、PB、PC两两相互垂直，三侧面面积分

别为S₁、S₂、S₃，底面积为S，三侧面与底面分别成角α、β、γ，（1）求S（用S₁、S₂、S₃表示）；（2）求证：cos²α+cos²β+cos²γ=1；

Answer 1

见解析

解析:

设PA=a，PB=b，PC=c，则S₁=ab ，S₂=bc，S₃=ca，

作PD⊥BC于D，连AD，

易证BC⊥平面PAD，

于是BC⊥AD；

S_△ABC=BC×AD，

在Rt△APD中，AD²=a²+PD²，

在Rt△BPC中，PD²=，

∴AD²=a²+

∴S_△ABC²=（BC×AD）²=（a²b²+b²c²+c²a²）=

∴

证明：由（1）知，PD⊥BC，AD⊥BC，∴∠PDA是侧面PBC与底面ABC所成二面角的平面角，不妨设∠PDA=α，

PD²=，AD²=

∴cos²α=；

同理cos²β=；

cos²γ= ；

 ∴cos²α+cos²β+cos²γ=1