Question

斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，已知侧面BB₁C₁C与底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠B₁BC=60°，BC=BB₁=2，若二面角A-B₁B-C为30°
（1）求AB₁与平面BB₁C₁C所成角的正切值；
（2）在平面AA₁B₁B内找一点P，使三棱锥P-BB₁C为正三棱锥，并求P到平面BB₁C距离．

Answer 1

解：（1）由侧面BB₁C₁C与底面ABC垂直且∠BCA=90°知AC⊥平面BB₁C₁C
取BB₁的中点D，AC⊥平面BB₁C₁C
∴AC⊥BB₁
∴BB₁⊥平面ADC
∴AD⊥BB₁
∴∠CDA为二面角A-BB₁-C的平面角，∴∠CDA=30°，
∵CD=，∴AC=1
连接B₁C，则∠AB₁C为AB₁与平面BB₁C₁C所成的角，
在Rt△ACB₁中tan∠AB₁C=，
（2）在AD上取点P，使AP=2PD，则P点为所求，
在CD上取点O，使CO=2OD，连PO，，
则PO∥AC，且PO=，
∵AO⊥平面BB₁C，
∴PO⊥平面BB₁C 且 BB₁C为等边三角形，
∴三棱锥P-BB₁C为正三棱锥，
且P到平面BB₁C的距离为PO，PO=
分析：（1）由侧面BB₁C₁C与底面ABC垂直且∠BCA=90°知AC⊥平面BB₁C₁C，则有∠AB₁C为AB₁与平面BB₁C₁C所成的角，连接B₁C，则∠AB₁C为AB₁与平面BB₁C₁C所成的角，在Rt△ACB₁中可求得tan∠∠AB₁C．
（2）在AD上取点P，使AP=2PD，则P点为所求，在CD上取点O，使CO=2OD，连PO，则易知三棱锥P-BB₁C为正三棱锥，故可求．
点评：本题以斜三棱柱为载体，考查线面角，考查点面距离，属于基础题．