Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA₁⊥AC₁．
（Ⅰ）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求CC₁到平面A₁AB的距离；
（Ⅲ）求二面角A-A₁B-C的大小．

Answer 1

分析：（I）欲证AC₁⊥平面A₁BC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AC₁与平面A₁BC内两相交直线垂直，BC⊥AC₁，又BA₁⊥AC₁，满足定理条件；
（II）取AA₁中点F，则AA₁⊥平面BCF，从而面A₁AB⊥面BCF，过C作CH⊥BF于H，则CH⊥面A₁AB，从而CH就是CC₁到平面A₁AB的距离，在Rt△BCF中，求出CH即可；
（III）过H作HG⊥A₁B于G，连CG，根据二面角平面角的定义知∠CGH为二面角A-A₁B-C的平面角，在Rt△CGH中求出此角的正弦值即可．

解答：（I）证明：因为A₁D⊥平面ABC，所以平面AA₁C₁C⊥平面ABC，
又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA₁C₁C，
得BC⊥AC₁，又BA₁⊥AC₁
所以AC₁⊥平面A₁BC；（4分）

（II）解：因为AC₁⊥A₁C，所以四边形AA₁C₁C为菱形，
故AA₁=AC=2，又D为AC中点，知∠A₁AC=60°．
取AA₁中点F，则AA₁⊥平面BCF，从而面A₁AB⊥面BCF，
过C作CH⊥BF于H，则CH⊥面A₁AB，
在Rt△BCF中，BC=2，CF=

3

，故CH=

2 21

7

，
即CC₁到平面A₁AB的距离为CH=

2 21

7

（9分）
（III）解：过H作HG⊥A₁B于G，连CG，则CG⊥A₁B，
从而∠CGH为二面角A-A₁B-C的平面角，
在Rt△A₁BC中，A₁C=BC=2，所以CG=

2

，
在Rt△CGH中，sin∠CGH=

CH

CG

=

42

7

，
故二面角A-A₁B-C的大小为arcsin

42

7

．（14分）

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及二面角及其度量和点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．