Question

如图1所示，在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE=4．如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点．
（1）求证：DE⊥平面BCD；
（2）若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B-DEG的体积．

Answer 1

分析：（1）取AC的中点P，连接DP，证明DP⊥AC，∠EDC=90°，ED⊥DC；利用平面与平面垂直的性质证明DE⊥平面BCD；
（2）说明G为EC的中点，求出B到DC的距离h，说明到DC的距离h就是三棱锥B-DEG的高．利用S△DEC=

1

3

×S△ABC，
即可求三棱锥B-DEG的体积．

解答：解：（1）取AC的中点P，连接DP，因为在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，
所以∠A=30°，△ADC是等腰三角形，所以DP⊥AC，DP=

3

，∠DCP=30°，∠PDC=60°，
又点E在线段AC上，CE=4．所以AE=2，EP=1，所以∠EDP=30°，
∴∠EDC=90°，∴ED⊥DC；
∵将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC
∴DE⊥平面BCD；
（2）若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，G为EC的中点，此时AE=EG=GC=2，
因为在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，
所以BD=

3

，DC=

32+( 3 )2

=2

3

，
所以B到DC的距离h=

BD•BC

DC

=

3 ×3

2 3

=

3

2

，
因为平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC，
所以B到DC的距离h就是三棱锥B-DEG的高．
三棱锥B-DEG的体积：V=

1

3

×S△DEG×h=

1

3

×

2

3

×

1

3

×S△ABC×h=

1

3

×

2

3

×

1

3

×

1

2

×3×6×

3

2

×

3

2

=

3

2

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，棱锥的体积的求法，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，计算能力．