Question

【题目】实验杯足球赛采用七人制淘汰赛规则，某场比赛中一班与二班在常规时间内战平，直接进入点球决胜环节，在点球决胜环节中，双方首先轮流罚点球三轮，罚中更多点球的球队获胜；若双方在三轮罚球中未分胜负，则需要进行一对一的点球决胜，即双方各派出一名队员罚点球，直至分出胜负；在前三轮罚球中，若某一时刻胜负已分，尚未出场的队员无需出场罚球（例如一班在先罚球的情况下，一班前两轮均命中，二班前两轮未能命中，则一班、二班的第三位同学无需出场），由于一班同学平时踢球热情较高，每位队员罚点球的命中率都能达到0.8，而二班队员的点球命中率只有0.5，比赛时通过抽签决定一班在每一轮都先罚球．
（1）定义事件A为“一班第三位同学没能出场罚球”，求事件A发生的概率；
（2）若两队在前三轮点球结束后打平，则进入一对一点球决胜，一对一点球决胜由没有在之前点球大战中出场过的队员主罚点球，若在一对一点球决胜的某一轮中，某队队员射入点球且另一队队员未能射入，则比赛结束；若两名队员均射入或者均射失点球，则进行下一轮比赛．若直至双方场上每名队员都已经出场罚球，则比赛亦结束，双方用过抽签决定胜负，以随机变量X记录双方进行一对一点球决胜的轮数，求X的分布列与数学期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：定义事件A为“一班第三位同学没能出场罚球”，

则事件A发生的概率为

P（A）=0.8×0.5×0.8×0.5+0.2×0.5×0.2×0.5=0.17

（2）解：随机变量X的可能取值为1，2，3，4；

计算P（X=1）=0.8×0.5+0.2×0.5=0.5，

P（X=2）=（1﹣P（X=1））×P（X=1）=0.25，

P（X=3）=（1﹣P（X=1））2×P（X=1）=0.125，

P（X=4）=（1﹣P（X=1））3=0.125；

所以随机变量X的分布列是：

X	1	2	3	4
P（X）	0.5	0.25	0.125	0.125

数学期望是E（X）=1×0.5+2×0.25+3×0.125+4×0.125=1.875（轮）

【解析】（1）根据相互独立事件同时发生的概率公式，计算一班第三位同学没能出场罚球的概率值；（2）根据题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出随机变量X的分布列，计算数学期望值．