Question

【题目】已知函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|．
（1）证明：f（x）≥f（0）；
（2）若x∈R，不等式2f（x）≥f（a+1）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：f（x）=|x+2|+|x﹣1|，

x≤﹣2时，f（x）=﹣x﹣2﹣x+1=﹣2x﹣1≥3，

﹣2＜x＜1时，f（x）=x+2﹣x+1=3，

x≥1时，f（x）=x+2+x﹣1=2x+1≥3，

∴f（x）≥3=f（0）；

（2）解：x∈R，不等式2f（x）≥f（a+1）恒成立，即x∈R，不等式2[|x+2|+|x﹣1|]≥|a+3|+|a|恒成立，

∴|a+3|+|a|≤6，

a≤﹣3时，﹣a﹣3﹣a≤6，∴a≥﹣4.5，∴﹣4.5≤a≤﹣3，

﹣3＜a＜0时，a+3﹣a≤6，成立；

a≥0时，a+3+a≤6，∴a≤1.5，∴0≤a≤1.5，

综上所述，﹣4.5≤a≤1.5

【解析】（1）分类讨论，求出f（x）的最小值，即可证明结论；（2）x∈R，不等式2f（x）≥f（a+1）恒成立，即x∈R，不等式2[|x+2|+|x﹣1|]≥|a+3|+|a|恒成立，可得|a+3|+|a|≤6，分类讨论求实数a的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的绝对值不等式的解法，需要了解含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能得出正确答案．