Question

已知数列{a_n}满足：a₁=a，an+1=1+

1

an

，又数列{b_n}满足：b₁=-1，bn+1=

1

bn-1

(n∈N*)．
（1）当a为何值时，a₄=0，并证明当a取数列{b_n}中除b₁以外的任意一项时，都可以得到一个有穷数列{a_n}；
（2）若

3

2

＜an＜2(n≥4)，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）与an+1=1+

1

an

，可得an=

1

an+1-1

，根据a₄=0，可求a的值；由题意可得a_n=1+

1

an-1

=0，即可得出结论；
（2）由题意，可得

3

2

＜a₄＜2，由此可求a的取值范围．

解答：解：（1）∵an+1=1+

1

an

，∴an=

1

an+1-1

，
∵a₄=0，∴a₃=-1，a₂=-

1

2

，a=a₁=-

2

3

；
∵bn+1=

1

bn-1

(n∈N*)，∴b_n=

1

bn+1

+1，
若a取数列{b_n}的一个数b_n，即a=b_n，
则a₂=1+

1

a1

=1+

1

bn

=b_n-1，a₃=1+

1

a2

=1+

1

bn-1

=b_n-2，
∴a_n-1=b₁=-1，∴a_n=1+

1

an-1

=0，
∴数列{a_n}只能有n项为有穷数列．
（2）∵

3

2

＜an＜2(n≥4)，
∴

3 2 ＜an-1＜2 3 2 ＜1+ 1 an-1 ＜2

（n≥5），
∴

3

2

＜a_n-1＜2（n≥5），
∴

3

2

＜a₄＜2，
∴

3

2

＜

3a+2

2a+1

＜2，
∴a＞0这就是所求的取值范围．

点评：本题考查数列递推式，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，有难度．