Question

△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2acosC+ccosA=b，则sinA+sinB的最大值为

 

．

Answer 1

考点：正弦定理,两角和与差的正弦函数,三角函数的最值

专题：解三角形

分析：已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理得到cosC=0，确定出C为直角，进而利用诱导公式得到sinB=cosA，原式变形后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的值域即可确定出最大值．

解答： 解：把2acosC+ccosA=b，利用正弦定理化简得：2sinAcosC+sinCcosA=sinB，
整理得：2sinAcosC+sinCcosA=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
即sinAcosC=0，
∵sinA≠0，∴cosC=0，
∴C=90°，
∴sinB=cosA，
∴sinA+sinB=sinA+cosA=

2

sin（A+45°），
∵sin（A+45°）≤1，∴sinA+sinB≤

2

，
则sinA+sinB的最大值为

2

．
故答案为：

2

点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的值域，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．