Question

（2013•杭州模拟）把椭圆C的短轴和焦点连线段中较长者、较短者分别作为椭圆C′的长轴、短轴，使椭圆C变换成椭圆C′，称之为椭圆的一次“压缩”．按上述定义把椭圆C_i（i=0，1，2，…）“压缩”成椭圆C_i+1，得到一系列椭圆C₁，C₂，C₃，…，当短轴长与截距相等时终止“压缩”．经研究发现，某个椭圆C₀经过n（n≥3）次“压缩”后能终止，则椭圆C_n-2的离心率可能是：①

3

2

，②

10

5

，③

3

3

，④

6

3

中的

①②

（填写所有正确结论的序号）

Answer 1

分析：分类讨论，确定压缩数为n-2时，半长轴、半短轴、半焦距，利用离心率公式，即可求得结论．

解答：解：依题意，
若原椭圆，短轴＞焦距，则压缩数为n时，半长轴为a，半短轴为c，半焦距为c
所以压缩数为n-1时，半长轴为

a2+c2

，半短轴为a，半焦距为c；
压缩数为n-2时，半长轴为

2a2+c2

，半短轴为

a2+c2

，半焦距为a
∵压缩数为n时，a²=c²+c²=2c²
∴C_n-2的离心率=

a

2a2+c2

=

10

5

同理，若原椭圆，短轴＜焦距，则压缩数为n时，半长轴为a，半短轴为c，半焦距为c
所以压缩数为n-1时，半长轴为

a2+c2

，半短轴为c，半焦距为a；
压缩数为n-2时，半长轴为

2a2+c2

，半短轴为c，半焦距为

a2+c2

，
∵压缩数为n时，a²=c²+c²=2c²
∴C_n-2的离心率=

a2+c2

2a2+c2

=

3

2

故答案为：①②

点评：本题考查新定义，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．