Question

3．已知点A是抛物线C：y²=2px（p＞0）与圆D：x²+（y-4）²=a²在第一象限内的公共点，且A到C的焦点F距离是a．若C上一点P到其准线距离与圆心D距离之和的最小值是2a，则a=（　　）

• A． 2
• B． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求得圆的圆心和半径，运用抛物线的定义可得A，D，F三点共线时取得最小值，且有A为DF的中点，设出A，D，F的坐标，代入抛物线的方程可得p，由抛物线的定义可得a．

解答 解：圆D：x²+（y-4）²=a²的圆心D（0，4），半径为a，
|AD|+|AF|=2a，
由抛物线M上一动点到其准线与到点D的距离之和的最小值为2a，
由抛物线的定义可得动点到焦点与到点D的距离之和的最小值为2a，
可得A，D，F三点共线时取得最小值，且有A为DF的中点，
由D（0，4），F（$\frac{p}{2}$，0），可得A（$\frac{p}{4}$，2），
代入抛物线的方程可得，4=2p•$\frac{p}{4}$，
解得p=2$\sqrt{2}$，
即有a=$\frac{p}{4}$+$\frac{p}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，注意运用抛物线的定义和三点共线和最小，考查运算能力，属于中档题．