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    【题目】如图，在四棱锥中，，底面为边长为的菱形，且.

    （1）证明：；

    （2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

    【答案】（1）证明见解析；（2）.

    【解析】

    （1）连接，取的中点，连接、，通过证明出平面得出；

    （2）先证明出，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，计算出平面的法向量，利用空间向量法可计算出直线与平面所成角的正弦值.

    （1）连接，因为底面是菱形，且，所以为等边三角形，

    取中点，连接、，所以，且，所以，

    ，所以平面，平面，所以；

    （2）因为，且，所以，所以，，

    ，所以，

    又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示，

    则、、、，

    则，，，

    设平面的法向量为，

    则，令，则，，则，

    设与平面所成角为，则.

    因此，直线与平面所成角的正弦值为.

    练习册系列答案
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    【题目】如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD//平面BCC1B1，AD⊥DB.求证：

    （1）BC//平面ADD1A1；

    （2）平面BCC1B1⊥平面BDD1B1.

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    【题目】某大型企业生产的某批产品细分为个等级，为了了解这批产品的等级分布情况，从仓库存放的件产品中随机抽取件进行检测、分类和统计，并依据以下规则对产品进行打分：级或级产品打分；级或级产品打分；级、级、级或级产品打分；其余产品打分.现在有如下检测统计表：

    等级

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    频数

    10

    90

    100

    200

    200

    100

    100

    100

    70

    30

    规定：打分不低于分的为优良级.

    （1）①试估计该企业库存的件产品为优良级的概率；

    ②请估计该企业库存的件产品的平均得分.

    （2）从该企业库存的件产品中随机抽取件，请估计这件产品的打分之和为分的概率.

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    【题目】设函数，其中，

    （1）若，且是的极大值点，求的取值范围；

    （2）当，时，方程有唯一实数根，求正数的值.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】从某工厂生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

    （1）求这1000件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）

    （2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中以近似为样本平均数，近似为样本方差．

    （ⅰ）利用该正态分布，求；

    （ⅱ）某用户从该工厂购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值为于区间(127．6,140）的产品件数，利用（ⅰ）的结果，求．

    附：．若，则，．

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    【题目】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB＝．

    （Ⅰ）若c＝2a，求的值；

    （Ⅱ）若C－B＝，求sinA的值．

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    【题目】我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费）．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量（单位：吨），制作了频率分布直方图，

    （Ⅰ）用该样本估计总体：

    （1）估计该市居民月均用水量的平均数；

    （2）如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量a的最低标准定为多少吨？

    （Ⅱ）若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查3位居民的月均用水量，其中月均用水量不超过2.5吨的人数为X，求X的分布列和均值.

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    【题目】已知函数.

    （1）当时，求函数在上的最大值；

    （2）令，若在区间上为单调递增函数，求的取值范围；

    （3）当 时，函数 的图象与轴交于两点 ，且 ，又是的导函数.若正常数 满足条件.证明：.

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    【题目】大学生赵敏利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至12月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价和销售量之间的一组数据如下表所示：

    月份

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    销售单价（元）

    9

    9.5

    10

    10.5

    11

    8

    销售量（件）

    11

    10

    8

    6

    5

    14

    （1）根据7至11月份的数据，求出关于的回归直线方程；

    （2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？

    （3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）．

    　参考公式：回归直线方程，其中，参考数据： ．

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