Question

如图某一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S、D、A、Q及P、D、C、R共线．
（1）沿图中虚线将它们折叠起来，使

PA

=a、Q、R、S四点重合为点P，请画出其直观图；
（2）求二面角P-AB-D的大小；
（3）试问需要几个这样的几何体才能拼成一个棱长为6的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁？

Answer 1

分析：（1）根据展开图图中线线位置关系、数量关系，转化到空间几何体中线线位置关系、数量关系，结合空间想象能力，画出直观图．
（2）在直观图中，易证∠PAD为二面角P-AB-D的平面角，解直角三角形PAD可求出∠PAD的大小．
（3）根据体积的倍数关系，确定个数，转化为体积计算．

解答：解：（1）它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥
（2）由（1）得，PD⊥AD，PD⊥CD，得PD⊥平面ABCD
∴PD⊥AB，而AB⊥AD，PD∩AD=D
∴AB⊥平面PAD…（6分）
∴AB⊥AD，AB⊥PA
∴∠PAD为二面角P-AB-D的平面角
又在Rt△PDA中，PD=AD，故∠PAD=

π

4

∴二面角P-AB-D的平面角为

π

4

（3）由题意，PD⊥平面ABCD，
则VP-ABCD=

1

3

×6×6×6=72，VABCD-A1B1C1D1=6×6×6=216，
∴需要3个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁

点评：本题主要考查空间角的计算，线线，线面位置关系，体积，考查了空间想象能力、计算能力，分析解决问题能力．