Question

如图某一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，BQ=BR，点S、D、A、Q共线及P、D、C、R共线．
（Ⅰ）沿图中虚线将它们折叠起来，使P、Q、R、S四点重合为点P，请画出其直观图；并求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）若M是AD的中点，N是PB的中点，求证：MN⊥面PBC．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据题意将图形折叠起来，画其直观图为一个有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，然后利用棱锥的体积公式可求得其体积．（Ⅱ）取PC中点E，连接DE，NE，利用平行关系可得MN∥DE，要证MN⊥面PBC，先证DE⊥面PBC，然后利用线面垂直的性质定理，可证得MN⊥面PBC．
解答：解：（Ⅰ）它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥
（注：评分注意实线、虚线；垂直关系；长度比例等）PD⊥AD，PD⊥CD，
∴PD⊥平面ABCD，则V_P-ABCD=×6×6×6=72

（Ⅱ）取PC中点E，连接DE，NE
△PBC中，PN=NB，
∴NE∥BC，且NE=BC，
在正方形ABCD中，MD∥BC，且MD=BC，
∴NE∥MD，且NE=MD
∴四边形MNED为平行四边形
∴MN∥DE
在RT△PDC中，PD=DC
∴DE⊥PC
又∵PD⊥面ABCD，BC?面ABCD
∴PD⊥BC
又∵BC⊥DC
∴BC⊥面PDC
又∵DE?面PDC
∴BC⊥DE
∴DE⊥面PBC
∵MN∥DE
∴MN⊥面PBC
点评：本小题主要考查空间线面关系，几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是个中档题．