Question

15．已知等比数列{a_n}的公比为q，前n项和为S_n，若S_n+1，S_n，S_n+2成等差数列，且S₁=1，则q=-2，a_n=（-2）^n-1．S_n+1=$\frac{1-（-2）^{n+1}}{3}$．

Answer 1

分析 运用等差数列的中项性质，运用等比数列的通项公式和求和公式，计算即可得到所求值．

解答 解：S_n+1，S_n，S_n+2成等差数列，可得
2S_n=S_n+1+S_n+2，
若q=1，可得S_n=na₁=n，
即有2n=n+1+n+2，方程无解；
若q≠1，则2•$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n+1}）}{1-q}$+$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n+2}）}{1-q}$，
可得2qⁿ=qⁿ⁺¹+qⁿ⁺²，
即为q²+q-2=0，解得q=1（舍去）或q=-2，
则q=-2，a_n=a₁q^n-1=（-2）^n-1，
S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{1-（-2）^{n}}{3}$．
即有S_n+1=$\frac{1-（-2）^{n+1}}{3}$．
故答案为：-2，（-2）^n-1，$\frac{1-（-2）^{n+1}}{3}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查等差数列的中项性质，考查运算能力，属于基础题．