Question

如图，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，MA∥PB，PB=AB=2MA=2．
（1）求证：DM∥面PBC；
（2）求证：面PBD⊥面PAC．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）平面AMD内的直线MA，平行平面BPC内的直线PB，证明平面AMD∥平面BPC，再证明DM∥面PBC；
（2）证明PB⊥平面ABCD、AC⊥平面PBD，即可证明面PBD⊥面PAC．

解答： 证明：（1）因为PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，所以PB∥MA．因PB?平面BPC，MA不在平面BPC内，所以MA∥平面BPC．同理DA∥平面BPC，因为MA?平面AMD，AD?平面AMD，MA∩AD=A，所以平面AMD∥平面BPC，
因为DM?平面AMD，
所以DM∥面PBC；
（2）因为PB∥MA，MA⊥平面ABCD，
所以PB⊥平面ABCD，
所以PB⊥AC，
因为AC⊥BD，PB∩BD=B，
所以AC⊥平面PBD，
因为AC?面PAC，
所以面PBD⊥面PAC．

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．