Question

【题目】已知圆F1：（x+1）2+y2=16，定点F2（1，0），A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于P点． （Ⅰ）求P点的轨迹C的方程；
（Ⅱ）四边形EFGH的四个顶点都在曲线C上，且对角线EG，FH过原点O，若kEGkFH=﹣ ，求证：四边形EFGH的面积为定值，并求出此定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：因为P在线段F2A的中垂线上，所以|PF2|=|PA|． 所以|PF2|+|PF1|=|PA|+|PF1|=|AF1|=4＞|F1F2|，
所以轨迹C是以F1 ， F2为焦点的椭圆，且c=1，a=2，所以 ，
故轨迹C的方程 ．
（Ⅱ）证明：不妨设点E、H位于x轴的上方，
则直线EH的斜率存在，设EH的方程为y=kx+m，E（x1 ， y1），H（x2 ， y2）．
联立 ，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，
则 ．①
由 ，
得 ．②
由①、②，得2m2﹣4k2﹣3=0．③
设原点到直线EH的距离为 ， ， ④
由③、④，得 ，故四边形EFGH的面积为定值，且定值为 ．
【解析】（Ⅰ）利用椭圆的定义，即可求P点的轨迹C的方程；（Ⅱ）不妨设点E、H位于x轴的上方，则直线EH的斜率存在，设EH的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立，求出面积，即可证明结论．