Question

对于函数f(x)=1-2cos2(x+

π

4

)-

3

cos2x，给出下列四个命题：
（1）函数在区间[

5π

12

，

11π

12

]上是减函数；
（2）直线x=

π

6

是函数图象的一条对称轴；
（3）函数f（x）的图象可由函数y=2sin2x的图象向右平移

π

3

而得到；
（4）若 R，则f（x）=f（2-x），且的值域是[-

3

，2]．
其中正确命题的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：由三角函数的恒等变换，把f(x)=1-2cos2(x+

π

4

)-

3

cos2x等价转化为f（x）=2sin（2x-

π

3

），由此能求出结果．

解答：解：∵f(x)=1-2cos2(x+

π

4

)-

3

cos2x
=-cos（2x+

π

2

）-

3

cos2x
=sin2x-

3

cos2x
=2sin（2x-

π

3

），
所以：f（x）的减区间满足：

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
解得f（x）的减区间是[

5

12

π+kπ，

11π

12

+kπ]，k∈Z，
故函数在区间[

5π

12

，

11π

12

]上是减函数，即（1）正确；
f（x）的对称轴方程满足：2x-

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z，
即x=

kπ

2

+

5π

12

，k∈Z，
故直线x=

π

6

不是函数图象的一条对称轴，即（2）不正确；
函数y=2sin2x的图象向右平移

π

3

得到y=2sin（2x-

2π

3

）≠2sin（2x-

π

3

），故（3）不正确；
f（x）≠f（2-x），故（4）不正确．
故选A．

点评：本题考查命题的真假判断的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化和三角函数的合理运用．