Question

16．已知函数f（x）=|x-2|．
（1）若对任意的a，b，c∈R（a≠c），不等式$\frac{1}{2}$f（m）≤$\frac{|a-b|+|c-d|}{|a-c|}$恒成立，求实数m的最大值；
（2）在（1）的条件下，解不等式f（x）≤2-|x-m|．

Answer 1

分析 （1）由绝对值不等式可得$\frac{|a-b|+|c-d|}{|a-c|}$≥1，由不等式$\frac{1}{2}$f（m）≤$\frac{|a-b|+|c-d|}{|a-c|}$恒成立可得$\frac{1}{2}|m-2|≤1$，解绝对值不等式可得实数m的最大值为4；
（2）把m=4代入不等式f（x）≤2-|x-m|，得到|x-2|+|x-4|≤2，结合|x-2|+|x-4|≥|（x-2）-（x-4）|=2，可得|x-2|+|x-4|=2，由绝对值的几何意义得答案．

解答 解：（1）由$\frac{|a-b|+|c-d|}{|a-c|}$≥$\frac{|（a-b）-（c-b）|}{|a-c|}=1$，
∴$\frac{1}{2}$f（m）≤$\frac{|a-b|+|c-d|}{|a-c|}$恒成立?$\frac{1}{2}|m-2|≤1$⇒0≤m≤4，
∴实数m的最大值为4；
（2）f（x）≤2-|x-m|?|x-2|≤2-|x-4|．
即|x-2|+|x-4|≤2，
∵|x-2|+|x-4|≥|（x-2）-（x-4）|=2，
∴|x-2|+|x-4|=2，
由绝对值的几何意义可得：{x|2≤x≤4}．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了绝对值不等式的应用，是中档题．