Question

（本小题9分）

如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，，点E是SD上的点，且

（Ⅰ）求证：对任意的，都有

（Ⅱ）设二面角C—AE—D的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）见解析；

（Ⅱ）

【解析】(1)可以通过证明即可。

(II)先找出二面角C-AE-D的平面角∠CDF，即∠CDF=.直线BE与平面ABCD所成的角,即=.然后再根据建立关于的方程，解出的值。

解:Ⅰ）证法1：如图1，连接BE、BD，

由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD。

  SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，AC⊥BE ------3分

（Ⅱ）如图1，

由SD⊥平面ABCD知，∠DBE= ,

SD⊥平面ABCD，CD平面ABCD, SD⊥CD。

又底面ABCD是正方形， CD⊥AD，而SD AD=D，CD⊥平面SAD.

连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DE⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，

故∠CDF是二面角C-AE-D的平面角，即∠CDF=。  ------------------5分

在Rt△BDE中，BD=2a，DE= 

在Rt△ADE中,

从而在中，       --7分

由，得.

由，解得，即为所求.   ---------------------------------9分

（1）证法2：以D为原点，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如

图2所示的空间直角坐标系，

则：D（0，0，0），A（，0，0），B（，，0），C（0，，0），E（0，0），---------2分

，      即。       ---------3分

解法2：

由（I）得.

设平面ACE的法向量为n=(x，y，z)，则由得

。--------------------5分

易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为.    -------------7分

0<，，

            =1

由于，解得，即为所求。--------------------9分