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(2001•江西)某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中A、A′是双曲线的顶点,C、C′是冷却塔上口直径的两个端点,B、B′是下底直径的两个端点,已知AA′=14m,CC′=18m,BB′=22m,塔高20m.
(Ⅰ)建立坐标系并写出该双曲线方程;
(Ⅱ)求冷却塔的容积(精确到10m3,塔壁厚度不计,π取3.14).
分析:(I)建立直角坐标系xOy,AA′在x轴上,AA′的中点为坐标原点O,CC′与BB′平行于x轴,设出B、C的坐标,利用B、C在双曲线上,塔高20m,可得双曲线的标准方程;
(II)利用定积分知识,可求冷却塔的容积.
解答:解:(I)如图建立直角坐标系xOy,AA′在x轴上,AA′的中点为坐标原点O,CC′与BB′平行于x轴.
设双曲线方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
,则a=
1
2
AA′=7

又设B(11,y1),C(9,y2),
因为点B、C在双曲线上,所以有
112
72
-
y
2
1
b2
=1
,①
92
72
-
y
2
2
b2
=1
,②
由题意知y2-y1=20.③
由①、②、③得y1=-12,y2=8,b=7
2

故双曲线方程为
x2
49
-
y2
98
=1

(II)由双曲线方程得x2=
1
2
y2+49

设冷却塔的容积为V(m3),则V=π
y2
y1
x2dy=π
8
-12
(
1
2
y2+49)dy
=π(
1
6
y3+49y)
|
8
-12

∴V≈4.25×103(m3).
答:冷却塔的容积为4.25×103(m3).
点评:本小题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组等基础知识,考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力.
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