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已知a>0,函数f(x)=ax2-x,g(x)=ln(ax)
(1)若直线y=kx-1与函数f(x)、g(x)相切于同一点,求实数a,k的值;
(2)是否存在实数a,使得f(x)≥g(x)成立,若存在,求出实数a的取值集合,不存在说明理由.
分析:(1)设g(x)的切点(x0,ln(ax0)),则g′(x0)=
1
x0
=k=f′(x0),及g(x0)=kx0-1可求得答案;
(2)令h(x)=f(x)-g(x)=ax2-x-ln(ax),则问题等价于h(x)min≥0,h′(x)=
2ax2-x-1
x
,令p(x)=2ax2-x-1,△=1+8a>0,设p(x)=0有两不等根x1,x2,不妨令x1<0<x2,利用导数可求得h(x)min=h(x2)≥0;由p(x2)=0可对h(x2)进行变形,再构造函数,利用导数可判断h(x2)≤0,由此刻求得x2=1,进而求得a值;
解答:解(1)设g(x)的切点(x0,ln(ax0)),g′(x0)=
1
x0
=k,
∴g(x0)=ln(ax0)=kx0-1=0,∴ax0=1,
设f(x)切点(x0,f(x0)),f′(x0)=2ax0-1=k=1,∴a=x0=1,
∴a=k=1;
(2)令h(x)=f(x)-g(x)=ax2-x-ln(ax),即h(x)min≥0,
h′(x)=
2ax2-x-1
x
,令p(x)=2ax2-x-1,△=1+8a>0,
所以p(x)=0有两不等根x1,x2x1x2=-
1
2a
<0,不妨令x1<0<x2
所以h(x)在(0,x2)上递减,在(x2,+∞)上递增,
所以h(x2)=ax22-x2-ln(ax2)≥0成立,
因为p(x2)=2ax22-x2-1=0,所以ax2=
1+x2
2x2

所以h(x2)=
1-x2
2
-ln
1+x2
2x2
0,且x2=
1+
1+8a
4a
=
2
1+8a
-1

令k(x)=
1-x
2
-ln
1+x
2x
=
1-x
2
+ln2x-ln(1+x)

k′(x)=-
(x-1)(x+2)
2x(x+1)
,所以k(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,
所以k(x2)≤k(1)=0,又h(x2)=
1-x2
2
-ln
1+x2
2x2
≥0
,所以x2=1代入ax2=
1+x2
2x2
,a=1,
所以a∈{1}.
点评:本题考查导数的几何意义、闭区间上函数的最值、函数恒成立问题,考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力,根据问题恰当构造函数是解决该题目的关键,要认真领会.
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A、?x∈R,f(x)≤f(x0B、?x∈R,f(x)≥f(x0C、?x∈R,f(x)≤f(x0D、?x∈R,f(x)≥f(x0

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已知a>0,函数f(x)=ln(2-x)+ax.
(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为l,若l与圆(x+1)2+y2=1相切,求a的值.

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已知a>0,函数f(x)=lnx-ax2,x>0.(f(x)的图象连续不断)
(Ⅰ)当a=
1
8

①求f(x)的单调区间;
②证明:存在x0∈(2,+∞),使f(x0)=f(
3
2
);
(Ⅱ)若存在均属于区间[1,3]的α,β,且β-α≥1,使f(α)=f(β),证明
ln3-ln2
5
≤a≤
ln2
3

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已知a>0,函数f(x)=
|x-2a|
x+2a
在区间[1,4]上的最大值等于
1
2
,则a的值为
 

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