Question

设函数f（x）=

log3x，x＞0 log 1 3 (-x)，x＜0

若f（m）＜f（-m），则实数m的取值范围是（　　）

A．（-1，0）∪（0，1）

B．（-∞，-1）∪（1，+∞）

C．（-1，0）∪（1，+∞）

D．（-∞，-1）∪（0，1）

Answer 1

分析：分m大于0和m小于0两种情况考虑：当m大于0时，-m小于0，代入相应的解析式中求出f（m）和f（-m），将求出的解析式代入已知的不等式中，根据对数的运算性质及对数函数的单调性得到m的取值范围；当m小于0时，-m大于0，代入相应的解析式中求出f（m）和f（-m），将求出的解析式代入已知的不等式中，根据对数的运算性质及对数的单调性即可求出m的范围，综上，求出两个解集的并集即可得到实数m的取值范围．

解答：解：当m＞0时，f（m）=log₃^m，f（-m）=

log

m 1 3

，
代入不等式得：log₃^m＜

log

m 1 3

=-log₃^m，
变形得：log₃^m＜0=log₃¹，
∵3＞1，对数函数为递增函数，
∴0＜m＜1；
当m＜0时，f（m）=

log

-m 1 3

，f（-m）=log₃^-m，
代入不等式得：

log

-m 1 3

＜log₃^-m，
变形得：log₃^-m＞0=log₃¹，
∵3＞1，对数函数为递增函数，
∴m＜-1，
综上，实数m的取值范围为（-∞，-1）∪（0，1）．
故选D．

点评：此题考查了对数函数的单调性，分段函数，以及对数的运算性质．利用分类讨论的数学思想，根据分段函数的解析式得到相应的f（m）和f（-m）是解本题的关键．