Question

1．已知二次函数f（x）满足：f（0）=m-4，f（m）=-m²+m-4，且对任意的实数t，都有f（-t）=f（2m+t）．
（1）若函数f（x）在区间[-1，3]上是单调函数，求实数m的取值范围；
（2）若关于x的不等式f（x）＜0的解集为（-1，3），求实数m的取值；
（3）若函数f（x）在区间[0，2]上的最小值为-$\frac{19}{4}$，求实数m的取值．

Answer 1

分析 （1）对任意的实数t，都有f（-t）=f（2m+t），函数的对称轴为x=m，利用函数f（x）在区间[-1，3]上是单调函数，即可求实数m的取值范围；
（2）若关于x的不等式f（x）＜0的解集为（-1，3），-1，3是方程（x-m）²-m²+m-4=0的根，即可求实数m的取值；
（3）分类讨论，利用函数f（x）在区间[0，2]上的最小值为-$\frac{19}{4}$，求实数m的取值．

解答 解：（1）∵对任意的实数t，都有f（-t）=f（2m+t）．
∴函数的对称轴为x=m，
∵函数f（x）在区间[-1，3]上是单调函数，
∴m≤-1或m≥3；
（2）设函数为f（x）=a（x-m）²-m²+m-4，
∵f（0）=m-4，
∴am²-m²+m-4=m-4，
∴a=1，
∴f（x）=（x-m）²-m²+m-4，
∵关于x的不等式f（x）＜0的解集为（-1，3），
∴-1，3是方程（x-m）²-m²+m-4=0的根，
∴（-1）×3=2m，
∴m=-$\frac{3}{2}$；
（3）m≤0，f（x）在区间[0，2]上的最小值为f（0）=m-4=-$\frac{19}{4}$，∴m=-$\frac{3}{4}$；
0＜m＜2，f（x）在区间[0，2]上的最小值为f（m）=-m²+m-4=-$\frac{19}{4}$，∴m=$\frac{1}{2}$；
m≥2，f（x）在区间[0，2]上的最小值为f（2）=（2-m）²-m²+m-4=-$\frac{19}{4}$，∴m=$\frac{19}{12}$舍去．
综上所述，m=-$\frac{3}{4}$或$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查二次函数，考查分类讨论的数学思想，正确运用二次函数的性质是关键．