Question

（本小题满分14分）已知椭圆的中心为原点，点是它的一个焦点，直线过点与椭圆交于两点，且当直线垂直于轴时，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线，使得在椭圆的右准线上可以找到一点，满足为正三角形．如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）设椭圆的方程为：，则．…①1分

当垂直于轴时，两点坐标分别是和，

，则，即．……②  …3分

由①，②消去，得．

或（舍去）．

当时，．

因此，椭圆的方程为．                …………………………5分

（Ⅱ）设存在满足条件的直线．

(1)当直线垂直于轴时，由（Ⅰ）的解答可知，焦点到右准线的距离为，此时不满足．

因此，当直线垂直于轴时不满足条件．               …………………………7分

（2）当直线不垂直于轴时，设直线的斜率为，则直线的方程为．

由，

设两点的坐标分别为和，则

，．

 ．    …………………9分

又设的中点为，则．

当为正三角形时，直线的斜率为．

，

．

……

当为正三角形时，，即＝，

解得，．                                  ……………………13分

因此，满足条件的直线存在，且直线的方程为或．…14分