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数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=
n+2
n
Sn(n=1,2,3,…).证明:
(Ⅰ)数列{
Sn
n
}是等比数列;
(Ⅱ)Sn+1=4an
分析:(Ⅰ)要证数列{
Sn
n
}是等比数列;需证
Sn+1
n+1
Sn
n
=2
(n=1,2,3,…)成立,另外应说明
S2
2
S1
1
=2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知数列{
Sn
n
}是首项为1,公比为2的等比数列,可得Sn的通项公式,代入an+1=
n+2
n
Sn(n=1,2,3,…)可得Sn+1=4an.说明当n=1时,S2=a1+a2=4a1,等式成立.
解答:(I)证:由a1=1,an+1=
n+2
n
Sn(n=1,2,3,),
知a2=
2+1
1
S1=3a1
S2
2
=
4a1
2
=2
S1
1
=1
,∴
S2
2
S1
1
=2

又an+1=Sn+1-Sn(n=1,2,3,…),则Sn+1-Sn=
n+2
n
Sn(n=1,2,3,),
∴nSn+1=2(n+1)Sn
Sn+1
n+1
Sn
n
=2
(n=1,2,3,…),
故数列{
Sn
n
}是首项为1,公比为2的等比数列.
(II)证明:Sn+1=4an.当n=1时,S2=a1+a2=4a1,等式成立.
由(1)知:
Sn
n
=1×2n-1
,∴Sn=n2n-1
当n≥2时,4an=4(Sn-Sn-1)=2n(2n-n+1)=(n+1)2n=Sn+1,等式成立.
因此对于任意正整数n≥1都有Sn+1=4an
点评:要证一个数列是等比数列,利用定义,每一项与它的前一项之比为一个常数,在这儿注意,n=1时,不在其中,所以要加以说明;同样第二个问题中,an+1=
n+2
n
Sn(n=1,2,3,…),这个式子也不包括a1应加以说明.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设等比数列{an}的公比q≠1,Sn表示数列{an}的前n项的和,Tn表示数列{an}的前n项的乘积,Tn(k)表示{an}的前n项中除去第k项后剩余的n-1项的乘积,即Tn(k)=
Tn
ak
(n,k∈N+,k≤n),则数列
SnTn
Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)
的前n项的和是
a12
2-q-q-1
(n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
a12
2-q-q-1
(n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
(用a1和q表示)

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科目:高中数学 来源: 题型:

若数列{an}的通项an=
1
pn-q
,实数p,q满足p>q>0且p>1,sn为数列{an}的前n项和.
(1)求证:当n≥2时,pan<an-1
(2)求证sn
p
(p-1)(p-q)
(1-
1
pn
)

(3)若an=
1
(2n-1)(2n+1-1)
,求证sn
2
3

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知Sn是数列{an}的前n项和,an>0,Sn=
a
2
n
+an
2
,n∈N*
(1)求证:{an}是等差数列;
(2)若数列{bn}满足b1=2,bn+1=2an+bn,求数列{bn}的通项公式bn

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•商丘二模)数列{an}的前n项和为Sn,若数列{an}的各项按如下规律排列:
1
2
1
3
2
3
1
4
2
4
3
4
1
5
2
5
3
5
4
5
…,
1
n
2
n
,…,
n-1
n
,…有如下运算和结论:
①a24=
3
8

②数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等比数列;
③数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前n项和为Tn=
n2+n
4

④若存在正整数k,使Sk<10,Sk+1≥10,则ak=
5
7

其中正确的结论是
①③④
①③④
.(将你认为正确的结论序号都填上)

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科目:高中数学 来源: 题型:

给出下列命题:
①若数列{an}的前n项和Sn=2n+1,则数列{an}为等比数列;
②在△ABC中,如果A=60°,a=
6
,b=4
,那么满足条件的△ABC有两解;
③设函数f(x)=x|x-a|+b,则函数f(x)为奇函数的充要条件是a2+b2=0;
④设直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),则M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.
其中真命题的序号是

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