Question

6．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1），过右焦点且斜率为1的直线交椭圆于A、B两点．
（1）证明：$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$与向量$\overrightarrow{m}$=（a²，-1）共线；
（2）设$\overrightarrow{OM}$=μ$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$，当μ²+λ²=1且M在椭圆上时，求椭圆方程．

Answer 1

分析 （1）直线与椭圆方程联立，韦达定理得A、B两点坐标的关系，即可证明结论；
（2）利用$\overrightarrow{OM}$=μ$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$，当μ²+λ²=1且M在椭圆上，得出x₁x₂+a²y₁y₂=x₁x₂+a²（x₁+c）（x₂+c）=0，即可得出结论．

解答 （1）证明：设直线AB的方程为y=x+c，代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1，
化简得（a²+1）x²+2a²cx+a²c²-a²=0．
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+1}$
又y₁=x₁+c，y₂=x₂+c，∴y₁+y₂=-$\frac{2c}{{a}^{2}+1}$
∵$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（x₁+x₂，y₁+y₂），
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$与向量$\overrightarrow{m}$=（a²，-1）共线；
（2）解：设M（x，y），
由已知得（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），
∴x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂，
∵M（x，y）在椭圆上，
∴（λx₁+μx₂）²+a²（λy₁+μy₂）²=a²．
即λ²（x₁²+a²y₁²）+μ²（x₂²+a²y₂²）+2λμ（x₁x₂+a²y₁y₂）=a²．①
又x₁²+a²y₁²=a²，x₂²+a²y₂²=a²，μ²+λ²=1
∴x₁x₂+a²y₁y₂=x₁x₂+a²（x₁+c）（x₂+c）=0．
∴（a²+1）x₁x₂+ca²（x₁+x₂）+a²（a²-1）=0
代入解得a=$\sqrt{3}$，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．

点评 考查向量共线为圆锥曲线提供已知条件；处理直线与圆锥曲线位置关系常用的方法是直线与圆锥曲线方程联立用韦达定理．