Question

已知，点A(s,f(s)), B(t,f(t))
(I) 若,求函数的单调递增区间；
(II)若函数的导函数满足：当|x|≤1时，有||≤恒成立，求函数的解析表达式；
(III)若0<a<b, 函数在和处取得极值，且,证明：与不可能垂直.

Answer 1

(I) f(x)的增区间是(-∞，)和[1,+ ∞]. …………………………3分
(II) f(x)=x³x. ……………………9分
(III) 证明见解析

(I) f(x)=x³-2x²+x, (x)=3x²-4x+1,
因为f(x)单调递增，
所以(x)≥0，
即 3x²-4x+1≥0,
解得，x≥1, 或x≤,……………………………2分
故f(x)的增区间是(-∞，)和[1,+ ∞]. …………………………3分
(II) (x)=3x²-2(a+b)x+ab.
当x∈[-1，1]时，恒有|(x)|≤.………………………4分
故有≤(1)≤，
≤(-1)≤，
≤(0)≤,………………………5
即    ………6
①+②，得
≤ab≤，……………………………8分
又由③，得
ab=，
将上式代回①和②，得
a+b=0,
故f(x)=x³x. ……………………9分
(III) 假设⊥,
即= =" st+f(s)f(t)=0," ……………10分
(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1,
[st-(s+t)a+a²][st-(s+t)b+b²]="-1," ……………………………………11分
由s，t为(x)=0的两根可得，
s+t=(a+b), st=, (0<a<b),
从而有ab(a-b)²="9." ……………………………………12分
这样(a+b)²=(a-b)²+4ab
= +4ab≥2=12，
即 a+b≥2,
这样与a+b<2矛盾. ……………………13分
故与不可能垂直.