Question

如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=

2

，AD=BD：EC丄底面ABCD，FD丄底面ABCD 且有EC=FD=2．
（I ）求证：AD丄BF；
（II ）若线段EC的中点为M，求直线AM与平面ABEF所成角的正弦值．

Answer 1

（I）∵BC⊥DC，BC=CD=

2

，
∴BD=

BC2+CD2

=2，且△BCD是等腰直角三角形，∠CDB=∠CBD=45°
∵平面ABCD中，AB∥DC，∴∠DBA=∠CBD=45°
∵AD=BD，可得∠DBA=∠BAD=45°
∴∠ADB=90°，即AD⊥BD
∵FD丄底面ABCD，AD?底面ABCD，∴AD⊥DF
∵BD、DF是平面BDF内的相交直线，∴AD⊥平面BDF
∵BF?平面BDF，∴AD丄BF
（II）如图，过点M作MN⊥BE，垂足为N，连接NA，AC
∵AB⊥BC，AB⊥EC，BC∩EC=E，∴AB⊥平面BEC
∵MN?平面BEC，∴AB⊥MN，


结合MN⊥BE且BE∩AB=B，可得MN⊥平面ABEF
∴AN是AM在平面ABEF内的射影，可得∠MAN就是直线AM与平面ABEF所成角
∵Rt△ABC中，AC=

AB2+BC2

=

10

，∴Rt△ACM中，AM=

AC2+CM2

=

11

．
∵△EMN∽△EBC，∴

MN

BC

=

EN

EC

MN

BC

=

EM

EB

，可得MN=

3

3

因此，在Rt△MAN中，sin∠MAN=

MN

AM

=

33

33

即直线AM与平面ABEF所成角的正弦值是

33

33

．