Question

已知曲线y=

1

x

（1）求曲线在点P（1，1）处的切线方程　　
（2）求曲线过点P（1，0）处的切线方程．

Answer 1

分析：（1）根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；
（2）设出曲线过点P切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到（1）求出的导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可；

解答：解：（1）∵P（1，1）在曲线曲线y=

1

x

，且y'=-

1

x2

∴在点P（1，1）处的切线的斜率k=y'|_x=1=-1；
∴曲线在点P（1，1）处的切线方程为y-1=-（x-1），即x+y-2=0．
（2）设曲线线y=

1

x

，过点P（1，0）的切线相切于点A（x₀，

1

x0

），
则切线的斜率 k=-

1

x 2 0

，
∴切线方程为y-

1

x0

═-

1

x 2 0

（x-x₀），
∵点P（1，0）在切线上，
∴-

1

x0

═-

1

x 2 0

（1-x₀），
解得x₀=

1

2

故所求的切线方程为4x+y-4=0

点评：此题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题．学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．