Question

如图，△ABC的顶点A、B、C所对的边分别为a、b、c，A为圆心，直径PQ=2r，问：当P、Q取什么位置时，

BP

•

CQ

有最大值？

Answer 1

分析：利用向量的加、减法的三角形法则先表示

BP

•

CQ

=(

AP

-

AB

)•(

AQ

-

AC

)，结合已知，利用向量的数量积展开整理可得则

BP

•

CQ

=-r²+cbcos∠BAC+racos∠PDB，从而可求．

解答：解：

BP

•

CQ

=（

AP

-

AB

）•（

AQ

-

AC

）
=（

AP

-

AB

）•（-

AP

-

AC

）
=-r²+

AB

•

AC

+

AP

•

CB

设∠BAC=α，PA的延长线与BC的延长线相交于D，∠PDB=θ，
则

BP

•

CQ

=-r²+cbcosα+racosθ
∵a、b、c、α、r均为定值，
∴当cosθ=1，即AP∥BC时，

BP

•

CQ

有最大值．

点评：本题主要考查了平面向量的综合运用：向量的减法的三角形法则，向量的数量积，三角函数的最值的求解，属于知识的综合运用．