Question

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（-1，5），点M的极坐标为（4，

π

2

）．若直线l过点P，且倾斜角为

π

3

，圆C以M为圆心，半径为4．
（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．

Answer 1

分析：（1）设直线l上动点坐标为Q（x，y），利用倾斜角与斜率的公式建立关系式得到x、y关于t的方程组，即可得到直线l的参数方程；由圆的性质和极坐标的定义，利用题中数据可得圆C的极坐标方程；
（2）将直线l与圆C都化成直角坐标方程，利用点到直线的距离公式加以计算，得到圆心到直线的距离比圆C半径大，从而得到直线l和圆C的位置关系．

解答：解：（1）∵直线l过点P（-1，5），倾斜角为

π

3

，
∴设l上动点坐标为Q（x，y），则

y-5

x+1

=tan

π

3

=

sin π 3

cos π 3

，
因此，设y-5=tsin

π

3

=

3

2

t，x+1=tcos

π

3

=

1

2

t，
得直线l的参数方程为

y=-5+ 3 2 t x=1+ 1 2 t

（t为参数）．
∵圆C以M（4，

π

2

）为圆心，4为半径，
∴圆心坐标为（0，4），圆的直角坐标方程为x²+（y-4）²=16
∵

x2+y2=ρ2  y=ρsinθ

，∴圆C的极坐标方程为ρ=8sinθ．
（2）将直线l化成普通方程，得

3

x-y-5-

3

=0，
∵点C到直线l的距离d=

|-2-5- 3 |

1+3

=

|-4-5- 3 |

1+3

=

1

2

(9+

3

)＞4=r，
∴直线l和圆C相离．

点评：本题考查直线的参数方程，圆的极坐标方程，和普通方程的互化，直线与圆的位置关系，是中档题．