Question

（2012•许昌县一模）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点P的极坐标为（

2

，

π

4

），直线l过点P，且倾斜角为

2π

3

，方程

x2

36

+

y2

16

=1所对应的曲线经过伸缩变换

x′= 1 3 x y′= 1 2 y

后的图形为曲线C．
（Ⅰ）求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标系方程．
（Ⅱ）直线l与曲线C相交于两点A，B，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定P的直角坐标，利用直线l过点P，且倾斜角为

2π

3

，可得直线l的参数方程；确定坐标之间的关系，代入方程，化简可得结论；
（Ⅱ）直线l的参数方程，代入曲线方程，利用参数的几何意义，即可求|PA|•|PB|的值．

解答：解：（Ⅰ）P的直角坐标为（1，1）
∵直线l过点P，且倾斜角为

2π

3

，∴直线l的参数方程为

x=1- 1 2 t y=1+ 3 2 t

（t为参数）
∵伸缩变换

x′= 1 3 x y′= 1 2 y

，∴

x=3x′ y=2y′

代入

x2

36

+

y2

16

=1，可得

(3x′)2

36

+

(2y′)2

16

=1，即x′²+y′²=4
∴曲线C的直角坐标系方程为x²+y²=4；
（Ⅱ）直线l的参数方程为

x=1- 1 2 t y=1+ 3 2 t

，代入曲线C可得t²+（

3

-1）t-2=0
设方程的根为t₁，t₂，则t₁+t₂=

3

-1；t₁t₂=-2
∴|PA|•|PB|=|t₁||t₂|=2

点评：本题考查直线的参数方程，考查代入法求轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查参数的几何意义，属于中档题．