Question

（2013•江西）椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

2

，a+b=3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m-k为定值．

Answer 1

分析：（1）由题目给出的离心率及a+b=3，结合条件a²=b²+c²列式求出a，b，则椭圆方程可求；
（2）设出直线方程，和椭圆方程联立后解出P点坐标，两直线方程联立解出M点坐标，由D，P，N三点共线解出N点坐标，
由两点求斜率得到MN的斜率m，代入2m-k化简整理即可得到2m-k为定值．

解答：（1）解：因为e=

c

a

=

3

2

，所以

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

3

4

，即a²=4b²，a=2b．
又a+b=3，得a=2，b=1．
所以椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1；
（2）证明：因为B（2，0），P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为y=k(x-2) (k≠0，k≠±

1

2

)．
联立

y=k(x-2) x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²-16k²x+16k²-4=0．
所以xP+2=

16k2

4k2+1

，xP=

8k2-2

4k2+1

．
则yP=k(

8k2-2

4k2+1

-2)=

-4k

4k2+1

．
所以P（

8k2-2

4k2+1

，

-4k

4k2+1

）．
又直线AD的方程为y=

1

2

x+1．
联立

y=k(x-2) y= 1 2 x+1

，解得M（

4k+2

2k-1

，

4k

2k-1

）．
由三点D（0，1），P（

8k2-2

4k2+1

，

-4k

4k2+1

），N（x，0）共线，
得

-4k 4k2+1 -1

8k2-2 4k2+1 -0

=

0-1

x-0

，所以N（

4k-2

2k+1

，0）．
所以MN的斜率为m=

4k 2k-1 -0

4k+2 2k-1 - 4k-2 2k+1

=

4k(2k+1)

2(2k+1)2-2(2k-1)2

=

2k+1

4

．
则2m-k=

2k+1

2

-k=

1

2

．
所以2m-k为定值

1

2

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了二次方程中根与系数关系，考查了由两点求斜率的公式，是中高档题．