Question

（2013•和平区一模）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为

1

2

，它的一个顶点恰好是抛物线y=

3

12

x²的焦点．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）若A、B是椭圆C上关x轴对称的任意两点，设P（-4，0），连接PA交椭圆C于另一点E，求证：直线BE与x轴相交于定点M；
（III）设O为坐标原点，在（II）的条件下，过点M的直线交椭圆C于S、T两点，求

OS

•

OT

的取值范围．

Answer 1

分析：（I）设出题意方程，利用离心率为

1

2

，它的一个顶点恰好是抛物线y=

3

12

x²的焦点，建立方程组，即可求椭圆C的标准方程；
（II）设出直线PA方程，代入椭圆方程，设出直线BE方程，利用韦达定理，令y=0，即可证得结论；
（III）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，及向量的数量积公式，即可求

OS

•

OT

的取值范围．

解答：（I）解：设椭圆C的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），抛物线方程可化为x2=4

3

y，其焦点为（0，

3

）
由题意，可得

a2-b2 a = 1 2 b= 3

，∴

a=2 b= 3

∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）证明：由题意可知直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为y=k（x+4）
代入椭圆方程可得（4k²+3）x²+32k²x+64k²-12=0①
设A（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则B（x₁，-y₁），
直线BE的方程为y-y2=

y2-y1

x2-x1

(x-x2)
令y=0，可得x=x2-

y2(x2-x1)

y2+y1

将y₁=k（x₁+4），y₂=k（x₂+4）代入上式，整理可得x=

2x1x2+4(x1+x2)

x1+x2+8

②
由①得x₁+x₂=-

32k2

4k2+3

，x1x2=

64k2-12

4k2+3

代入②整理可得x=-1
∴直线BE与x轴相交于定点M（-1，0）；
（III）解：当过点M的直线ST的斜率存在时，设直线ST的方程为y=m（x+1），且设S（x₁，y₁），T（x₂，y₂）在椭圆C上，
直线代入椭圆方程，可得（4m²+3）x²+8m²x+4m²-12=0
△=144（m²+1）＞0，x₁+x₂=-

8m2

4m2+3

，x₁x₂=

4m2-12

4m2+3

∴y₁y₂=m²（x₁+1）（x₂+1）=-

9m2

4m2+3

∴

OS

•

OT

=x1x2+y1y2=-

5m2+12

4m2+3

=-

5

4

-

33

4(4m2+3)

∵m²≥0，∴

OS

•

OT

∈[-4，-

5

4

）
当过点M的直线ST的斜率不存在时，直线ST的方程为x=-1，S（-1，

3

2

），T（-1，-

3

2

）
∴

OS

•

OT

=-

5

4

综上所述，

OS

•

OT

的取值范围为[-4，-

5

4

]．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线恒过定点，考查向量的数量积公式，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．