Question

（2013•和平区一模）若抛物线y²=ax上恒有关于直线x+y-1=0对称的两点A，B，则a的取值范围是（　　）

• A．（-

  4

  3

  ，0）
• B．（0，

  3

  4

  ）
• C．（0，

  4

  3

  ）
• D．（-∞，0）∪（

  4

  3

  ，+∞）

Answer 1

分析：设出A，B两点的坐标，因为A，B在抛物线上，把两点的坐标代入抛物线方程，作差后求出AB中点的纵坐标，又AB的中点在直线x+y-1=0上，代入后求其横坐标，然后由AB中点在抛物线内部列不等式求得实数a的取值范围．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因为点A和B在抛物线上，所以有y12=ax1①
y22=ax2②
①-②得，y12-y22=a(x1-x2)．
整理得

y1-y2

x1-x2

=

a

y1+y2

，
因为A，B关于直线x+y-1=0对称，所以k_AB=1，即

a

y1+y2

=1．
所以y₁+y₂=a．
设AB的中点为M（x₀，y₀），则y0=

y1+y2

2

=

a

2

．
又M在直线x+y-1=0上，所以x0=1-y0=1-

a

2

．
则M（1-

a

2

，

a

2

）．
因为M在抛物线内部，所以y02-ax0＜0．
即

a2

4

-a(1-

a

2

)＜0，解得0＜a＜

4

3

．
所以a的取值范围是（0，

4

3

）．
故选C．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了点差法，是解决与弦中点有关问题的常用方法，解答的关键是由AB中点在抛物线内部得到关于a的不等式，是中档题．