Question

已知直线y=3x+1是曲线y=x³-2x+a的一条切线，求a的值．

Answer 1

分析：若y=3x+1是曲线y=x³-2x+a的一条切线，则在切点处导函数的函数值等于切线的斜率，故我们可以据此利用导函数，求出切点的横坐标，然后代入切入方程，确定切点的坐标，再代入曲线方程最终确定参数的值．

解答：解：∵y=x³-2x+a
∴y′=3x²-2．
令3x²-2=3，
x=±

15

3

．
代入切线方程知y₀=1±

15

，
即切点坐标为（

15

3

，1+

15

），或（-

15

3

，1-

15

），
代入曲线方程y=x³-2x+a得
∴a=y₀+2x₀-x₀³=

15

．

点评：（1）解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法．（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标为P（x0，y0），然后求其切线斜率k=f′（x0），写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．（3）曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确．